====== Laboratorium 1 - Wprowadzenie do GNU Octave ======
Środowisko Octave jest wolnym odpowiednikiem pakietu MATLAB.

[[http://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/index.html|Dokumentacja]]
===== Instalacja i uruchamianie =====
 
W przypadku większości systemów Linux, pakiet Octave można zainstalować bezpośrednio z repozytorium: <code>$ sudo apt-get install octave</code>

W przypadku systemu Windows i OS X, oprogramowanie Octave można ściągnąć ze strony projektu: [[http://www.gnu.org/software/octave/download.html|GNU Octave]].

W systemie Linux uruchamiamy środowisko za pomocą polecenia <code>$ octave</code> W konsoli Octave możemy wykonywać wszystkie podstawowe polecenia umożliwiające nawigację w systemie plików (cd, ls, etc).

===== Składnia =====
==== Typy i zmienne ====

W języku Octave, nie prototypujemy zmiennych. Typy określane są automatycznie, tak jak w PHP, czy Bashu.
<code octave>zmienna = 'moja zmienna';
zmienna = 12.34; 
zmienna = [2 3 4; 3 4 5];</code>

Jednym z podstawowych //typów// danych w Octave są wektory i macierze. 
Definiujemy je za pomocą nawiasów kwadratowych. 
Wartości w **wierszach** oddzielamy spacjami lub przecinkami.
Wiersze oddzielamy znakiem średnika.

Załóżmy że chcemy zdefiniować następującą macierz i przypisać ją do zmiennej M: 
$$M = \begin{bmatrix}
       5 & 6 & 0 \\          
       6 & 0 & 1 \\
       0 & 6 & 1
     \end{bmatrix}$$
     
W Octave zapiszemy ją jako:<code octave>M = [5 6 0; 6 0 1; 0 6 1] </code>

Aby odwołać się do danego elementu macierzy, lub wektora używamy nawiasów okrągłych.\\
**Uwaga :!:** W Octave indeksowanie rozpoczyna się od 1 a nie jak w popularnych językach programowania od 0! Np. Aby pobrać/przypisać wartość elementu z pierwszego wiersza i drugiej kolumny macierzy M, piszemy:
<code octave>M(1,2)=7 </code>

Jako wynik otrzymujemy:
$$M = \begin{bmatrix}
       5 & 7 & 0 \\          
       6 & 0 & 1 \\
       0 & 6 & 1
     \end{bmatrix}$$
     
Octave umozliwia równiez odwoływanie się do całych kolumn i wierszy w danej macierzy:
<code octave>
M(:,3) % zwróci [0;1;1] 
M(2,:) % zwróci [6 0 1]  
</code>


Sprawdź co jak zadziała poniższy kod:
<code octave>
M = [5 6 0; 6 0 1; 0 6 1];
M([2 3],[1 2]) 
</code>

==== Zakresy ====
Zakresy tworzy się za pomocą znaku dwukropka. Służą one do definiowania prostych zestawów danych, a  także do odwoływania się do danych w wektorach i macierzach.

Przetestuj działanie poniższych poleceń
<code octave>zeros(1,10)
zeros(2,10)
ones(1,10)
range = [1:10] 
range = [1:0.3:10] 
range(5:10)
</code>




==== Operatory arytmetyczne====
Octave udostępnia podstawowe operatory arytmetyczne zarówno dla macierzy jak i skalarów. Pełny zbiór operatorów dostępny jest w [[http://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/Arithmetic-Ops.html#Arithmetic-Ops|dokumentacji Octave]].

**Uwaga :!:** Zwróć uwagę na działanie operatorów połączonych z kropką! \\
Przetestuj działanie poniższego kodu.
<code octave>
A = [0.5 0.5; 1 1];
B = [2 2; 2 2];
 
A * B
A .* B
B ^ 2
B .^ D
</code>


==== Instrukcje sterujące ====

Octave udostępnia powszechnie znane z innych języków programowania instrukcje sterujące. Pełny opis instrukcji sterujących można znaleźć w [[http://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/Statements.html#Statements|dokumentacji Octave]]


==== Definiowanie funkcji ====
Szczegółowe dane na temat definiowania funkcji można znaleźć w [[http://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/Functions-and-Scripts.html#Functions-and-Scripts|dokumentacji Octave]]. Poniżej kilka podstawowych infromacji:
  * Funkcje najczęściej definiujemy w osobnych plikach z rozszerzeniem **.m**
  * Nazwa funkcji musi zgadzać się z nazwą pliku!
  * Wywoływanie funkcji odbywa się poprzez podanie jej nazwy i listy argumentów. 
  * Podczas wywoływania funkcji musimy znajdować się w katalogu w którym dana funkcja jest zapisana.
  * W Octave nie zwracamy wartości za pomocą **return**. Po prostu przypisujemy ją do zmiennej podanej jako element zwracany
  * Komentarze w kodzie wstawiamy za pomocą %

Przykładowa definicja funkcji:
<file octave srednia.m>
function W = srednia(dane)
    % funkcja obliczająca średnią elementów w wektorze
    W = sum(dane)/length(dane); 
end
</file>

Aby wywołać funkcje z przykładu powyżej wykonujemy polecenie:
<code octave>Wynik = srednia([2 3 4 5 6 7 8]); </code>

Jeśli funkcja ma zwracać więcej niż jeden argument, zapisujemy to w ten sposób:
<file octave myFind.m>
function [IndexX,IndexY] = myFind(M,V)
   % Funkcja poszukująca wartości V w macierzy M
   % Funkcja zwraca indeksy znalezionej wartości, lub -1,-1
   [rows,cols] = size(M);
   IndexX = IndexY =-1; 
   for i=1:rows,
     for j=1:cols
       if M(i,j) == V
         IndexX = i;
         IndexY = j;
         return;
       endif
     end
   end
end
</file>

Aby pobrać wartości zwracane przez funkcję powyżej wpisujemy np.:
<code octave>
[X,Y] = myFind(M,6);  
</code>

==== Rysowanie wykresów ====
Do rysowania wykresów używamy funkcji: 
  * plot - rysowanie wykresów 2D
  * plot3d - rysowanie wykresów 3D
  * mesh - rysowanie płaszczyzn 

Porównaj działanie funkcji na poniższych przykładach. Jaka jest różnica pomiędzy plot3 a mesh?

**Plot2**
<code octave>
x = [0:0.01:10]; 
y = sin(x);
plot(x,y);
</code>

**Plot3**
<code octave>
t = 0:0.1:10*pi;
r = linspace (0, 1, numel (t)); 
z = linspace (0, 1, numel (t));
plot3 (r.*sin(t), r.*cos(t), z);
</code>

**Mesh**
<code octave>
tx = ty = linspace (-8, 8, 41)';
[xx, yy] = meshgrid (tx, ty);
r = sqrt (xx .^ 2 + yy .^ 2) + eps;
tz = sin (r) ./ r; 
mesh (tx, ty, tz);
</code>


===== Dobre praktyki =====
  * Jeśli tylko jest to możliwe, używaj funkcji wbudowanych. Na przykład zamiast pisać swoją własną funkcję **srednia** lepiej było wykorzystać wbudowaną funkcję **mean**.
  * Jeśli to tylko możliwe, staraj się wykorzystywać operacje na macierzach, zamiast pętli. 
  * Zawsze definiuj wcześniej wektor/macierz z która pracujesz (chyba że jest ona bezpośrednim wynikiem jakichś operacji). Np.:<code octave>M = zeros(3,3);
[x,y] = size(M);
for i=1:x
  for j=1:y
    M(i,j) = rand;
  end 
end</code>

===== Ćwiczenia =====
==== Operacje podstawowe I====
Zakładając, że mamy następującą macierz
$$A = \begin{bmatrix}
       16 & 2 & 3 & 13 \\
       5 & 11& 10 & 8 \\
       9 & 7 & 6 & 12 \\
       4 & 14 & 15 & 1
     \end{bmatrix}$$

Jakie indeksowanie macierzy A pozwoli na wyciągnięcie z niej następującej macierzy:
$$B = \begin{bmatrix}
       16 & 2  \\
       5 & 11 \\
       9 & 7  \\
       4 & 14 
     \end{bmatrix}$$
     
    
==== Operacje podstawowe II==== 
Napisz funkcję znajdującą najmniejszy i największy element w macierzy i zwracającą te wartości.

**Podpowiedź** użyj zbudowanych funkcji //min// i //max//.
==== Wartość wektora ====
Napisz funkcje wyznaczającą długość (normę) wektora podanego jako parametr, która określona jest wzorem:
$$|A| = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n a_i^2} $$
==== Odchylenie standardowe I====
Napisz funkcję wyznaczającą [[http://pl.wikipedia.org/wiki/Odchylenie_standardowe|odchylenie standardowe]] dla wartości wektora podanego jako parametr. Odchylenie standardowe dane jest wzorem:
$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{N}
  \left(x_{i} - \mu)^{2}}
  {N-1}}$$
  
Gdzie $\mu$ to średnia, a N to liczba wszystkich elementów w probie.

==== Odchylenie standardowe II====
Przyjmij, że tym razem parametrem funkcji nie jest wektor, ale macierz. Funkcja powinna obliczyć odchylenia standardowe dla każdego wiersza macierzy osobno i zwrócić wektor odchylen standardowych. 

**Uwaga** Pamiętaj o zadaniu [[#Operacje_podstawowe_i|Operacje Podstawowe I i II]]!
==== Wydajność I====
Dla funkcji napisanych w poprzednich dwóch zadaniach ([[#dlugosc_wektora|Długość wektora]] oraz [[#odchylenie_standardowe_i|Odchylenie Standardowe I]]) dopisz ich odpowiedniki wektorowe (lub z użyciem pętli) i przetestuj ich działanie na wygenerowanym losowo zbiorze $10^6$ liczb.

Aby wygenerować dane użyj:<code octave> data = rand(1,10^6); </code>

Porównaj czasy wykonywania funkcji:
<code octave>
timestart = time();

%Wywolanie funkcji 

timestop = time();

printf('Czas wykonania to %d sekund.\n',(timestop-timestart));
</code>

Jak zmienią się czasy gdy zmienimy ilość danych z $10^6$ na $10^8$?
O ile wolniej (procentowo) wykonuje się algorytm wyznaczający odchylenie standardowe wykorzystujący wbudowaną funkcję obliczającą średnią od tego, który wykorzystuje funkcję //srednia// napisaną przez nas?

==== Wydajność II ====
Jak poprawic wydajnośc następujących fragmentów kodu:

**Przykład I**
<code octave>A = zeros(10,10)
v = zeros(10, 1);
x = zeros(10, 1);
for i = 1:10
  for j = 1:10 
    x(i) = v(i) + A(i, j) * v(j); 
  end
end
</code>

**Przykład II**
<code octave>
for i = 1:7
  for j = 1:7
    A(i, j) = log (X(i, j)); 
    B(i, j) = X(i, j) ^ 2;
    C(i, j) = X(i, j) + 1;
    D(i, j) = X(i, j) / 4;
  end
end
</code>
==== Rysowanie wykresu funkcji ====

Napisz funkcję która będzie wyznaczała wartości funkcji z obrazka poniżej. Wyrysuj wartości tej funkcji na wykresie w przedziale od -10 do 10 z krokiem 0.5.

{{:pl:dydaktyka:ml:absfun.png|Wartość bezwzględna}}